2022年考研数学，2022年考研数学二真题及答案
2022年高考数学理科全国乙卷的立体几何问题，让老黄在解题过程中学到了新的数学知识。建议大家每天花点时间学习一下，学习不会耽误您！
如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，E为AC的中点.
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB=BD=2，∠ACB=60度，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值.
其实只要有好的空间想象能力，并且掌握立体几何的一些基本定理，立体几何是一点也不难的。但如果空间想象能力差，并且记不住一些基本定理，或者不会应用的话，那立体几何问题就无异于天书一般了。这一切能力，都是要靠平时努力得来的。当年老黄就是不努力，现在回想起来，全是“后悔”！下面老黄会给大家留下大量打老黄的脸的机会，看看您有没有机会和本事打到老黄的脸！
分析：(1)第一小题要运用“平面内一条直线垂直于另一个平面，则两个平面互相垂直”的定理。由于老黄这些立体几何定理全是靠自己“连蒙带猜加推理”出来的，所以语言上可能会有些不规范，请自行对照教材的定理。这个定理教材上一定有的。
而要证明一条直线垂直于另一个平面，就要通过“垂直于相交线的直线，也垂直于相交线所在的平面”这个定理来判定。因此，目标是证明两条相交线同时垂直于一条直线AC。
这就要运用到“等腰三角形底边中线也是底边上的高”这个“三线合一”的初中数学定理了。这个定理很好用，但熟练应用的人真不多。初中的定理老黄是滚瓜烂熟的。
也就是说，我们需要两个等腰三角形，其中一个等腰三角形ACD是已知的，另一个可以通过证明三角形ADB和三角形CDB全等来实现。
上面运用的是逆向思维，现在正向逻辑组织过程，就是证明：全等三角形->等腰三角形->同底两高->线面垂直->面面垂直。不看下面的解题过程，您能自己解决了吗？
(2)有两种方法可以选择，一种是建系，然后用向量的知识解决的代数法，一种是几何法。这次老黄选择几何法。参考答案用的是代数法。
首先把图中AC，BC，AB，BD，AD，CD，DE各边的长都求出来，这些都是很好求的，因为其中有等边三角形ABC和等腰直角三角形ACD，利用它们的边的关系，就很容易得到它们的长了。
而解决这个问题的关键是：当三角形AFC的面积最小时，F点的位置应该在哪里？由于F是BD上的动点，所以这个点有点捉摸不定。三角形AFC有一条底边AC是不变的，如果是平面几何问题，就好办了，只要根据“点到线的距离垂线段最短”，立即可以解决。偏偏这是一个立体几何问题，在BD上任一点，都会有一条到AC的垂线段，那么这些垂线段中，又是哪一条最短呢？
这是老黄所不懂的，因为老黄一辈子也没有接触过这个问题，也不知道现在高中数学教材中有没有这样的定理。得亏这里的BD和AC互相垂直，因此老黄观察之后，又开始“连蒙带猜加推理”得到一个老黄今生第一次接触到的立体几何定理，描述起来还挺不方便的，就是“不在同一平面且互相垂直的两条直线BD和AC，其中一条直线BD上一点F，与另一条直线AC构成的面，与第一条直线BD互相垂直时，这个点F是第一条直线BD上各点到另一条直线AC的最小距离”。您敢说老黄这个定理不对？它就是正确的啦！
不知道两条直线不互相垂直时是个什么情况，有时间老黄再继续“蒙猜推”一下看看。
有了上面的定理，同时也就可以得到CF与平面ABD的所成的角，这个角就是角AFC，而它是一个等腰三角形，因为它的两边AF和CF是全等三角形的对应高。底边AC已求，而AF和CF所在的三角形的三边都已求，就可以求它们的长。现在有了三角形AFC的三边，就可以利用余弦定理求得角AFC的余弦值，再根据余弦和正弦的关系，求得最后的答案。不看下面的解题过程，您能自己解决了吗？
好了，现在老黄来组织解题过程了。
(1)证明：∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，BD=BD，∴△ADB≌△CDB，
∵点E是AC的中点，∴DE⊥AC，BE⊥AC, ∴AC⊥平面BED，
又AC⊂平面ACD，∴平面BED⊥平面ACD.
(2)解：依题意，AC=BC=AB=BD=2，AD=CD=根号2，DE=AC/2=1，
当△AFC的面积最小时，BD⊥平面AFC；【为什么？让批卷老师自己猜去，又不是证明题，您不需要告诉他为什么】
∠AFC就是CF与平面ABD所成的角；
设DF=x, 则BF=BD-DF=2-x,
2-x^2=4-(2-x)^2, 解得：x=1/2. CF=AF=根号(2-x^2)=根号7/2.
cos∠AFC=(AF^2+CF^2-AC^2)/(2AF*CF)=-1/7,
sin∠AFC=根号(1-(cos∠AFC)^2)=4根号3/7.
那么高考数学中，这种“连蒙带猜加推”的方法，能不能用？为什么不能？就怕您没有这个本身 。老黄当年高考中，所有的数学公式公理，都是现推现用的。不过全靠这招，的确不太够用，书上的知识，还是要掌握啊！
老黄最后再秀一把，刚才不是说老黄有空再探究两条直线不在同一平面且不互相垂直的情况下，一条直线上的一点到另一条直线的最短距离吗？老黄这篇文章还没写完，就已经“蒙猜推理”出来了。两条不在同一平面的直线(不论垂不垂直)的最短距离，在它们的共同垂线上。怎么样，现在这个定理足够简单了吧？所以其实上题中F到AC的最小距离，就是当CD垂直于平面ACF时的EF的长。（自娱自乐，开心就好）
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